Кафедральные курсы

[Главная Новости Студенты Преподаватели Направления Учеба Литература Проекты Партнеры]

2017-2018 уч. год

Кафедральные курсы (Бакалавриат)

Кафедральные курсы (Магистратура)

Спецкурсы по выбору заявленные на 2017-2018 г.

Спецкурсы по выбору на весенний семестр по прошлому году

1. Математические модели в демографии и эпидемиологии (Mathematical models in demography and epidemiology.)   (Полугодовой: Специальный курс по выбору студента. Весенний семестр. Для бакалавров и магистров).  Лекторы 2016-2017 уч.года: д.ф.м.н., проф. Романюха А.А., к.ф.м.н. Санникова Т.Е.(ИВМ РАН).

2. Многосеточные методы и методы декомпозиции области (Multigrid methods and domain decomposition methods) - (Полугодовой: Специальный курс по выбору студента. Весенний семестр. Для бакалавров и магистров)  Лектор 2016-2017 уч.года: проф., д.ф.м.н., Василевский Ю.В.

3. Математические модели параллельных вычислений. (Parallel computations mathematical models) (Полугодовой: Специальный курс по выбору студента. Весенний семестр. Для бакалавров и магистров)  Лектор 2016-2017 уч.года: Фролов А.В., (к.ф.-м.н., доцент, ст.н.с. ИВМ РАН).

Кафедральные курсы (НОВАЯ ПРОГРАММА 2014-2015 у.г.)

Спецкрусы по выбору студента, заявленные на 2014-2015 г.

Алгебра и геометрия тензоров (чл.-корр. Тыртышников Е.Е.)

Метод граничных интегральных уравнений. (проф. Сетуха А.В.)

Спецкурсы

Кафедральные курсы

Курсы читаемые ПО СТАРОЙ ПРОГРАММЕ

А) Кафедральные курсы (обязательные)

1. Вариационно-проекционные методы. проф. Ю.В. Василевский 7-8 семестры, гр.403

2. Сопряженные уравнения и методы оптимального управления. проф. В.И. Агошков 6-7 семестры, гр. 303, 403

3. Вычислительные методы геофизической гидродинамики, проф. М.А. Толстых 7-8 семестры, гр. 403

Б) НОВАЯ ПРОГРАММА

Кафедральные курсы

Кафедра читает межфакультетский курс "Математические модели и методы системной биологии" ("Mathematical models and methods in systems biology"), (полугодовой, 36 часов)

Курс посвящен описанию математиче­ских моделей, методов и результатов их исследований в системной биологии. Рассматрив­аются модели сложных динамических процессов и явлений в живых системах, в частности модели истории жизни, старения и адаптации. Эти модели используются для решения задач анализа данных в эпидемиологии, иммунологиии медицине.

Ответственный лектор проф., д.ф.м.н. Романюха А.А.

Спецкрусы по выбору студента, читаемые в 2013-2014 г.

Спецкурсы, читавшиеся в прошлые годы:

1

Матрицы и вычисления

3 (5) 2/2

Н.Л.Замарашкин

2

Математические методы численного анализа

3 (5,6) 2/2

Е.Е.Тыртышников, Н.Л.Замарашкин

3

Современные вычислительные технологии

3 (6) 2

Ю.В.Василевский

4

Функциональный анализ и вычислительная математика

3 (5,6) 2/2

В.И.Лебедев, А.Н.Богатырев

5

Сопряженные уравнения и методы оптимального управления

3 (6) 2

В.И.Агошков

6

Вариационные и проекционные методы

4 (7,8) 2

В.И.Агошков

7

Интегральные уравнения и их использование в математическом моделировании

3 (6) 2

И.К.Лифанов

8

Математические модели в иммунологии и медицине

3 (6) 2

А.А.Романюха, С.Г.Руднев

9

Вычислительные технологии и математическое исследование биологических систем

4 (7,8) 2

Г.А.Бочаров

10

Вычислительные методы геофизической гидродинамики

4 (7,8) 2

М.А.Толстых

11

Особые интегральные уравнения и некоторые их приложения

4 (7) 2

И.К.Лифанов

12

Математически модели в эпидемиологии

4 (7,8) 2

А.А.Романюха

13

Вычислительно-информационные технологии моделирования климата

3 (6) 2

В.Н. Лыкосов

Программы спецкурсов

1. Матрицы и вычисления

2. Математические методы численного анализа

3. Современные вычислительные технологии

Курс для студентов 3 курса ВМК, читается в 6 семестре.

Семинары 32 часа, самостоятельная работа 32 часа.

За курс отвечает кафедра вычислительных технологий и моделирования.

Автор программы Василевский Ю.В.. Преподаватель Василевский Ю.В.

Дополнительная информация

Аннотация

Целью курса является ознакомление с основными этапами технологии инженерных вычислений.

Содержание курса

1. Принципы создания и использования библиотек
2. Интегрированные системы
3. Геометрическое представление расчетной области
4. Генерация сеток
5. Создание систем сеточных уравнений
6. Решение линейных систем
7. Решение нелинейных систем
8. Решение задач на собственные значения
9. Визуализация и анализ расчета
10. Представление результата

Литература

1. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. М.:Мир, 2001.
2. Львовский С.М. Набор и верстка в пакете Latex. Космосинформ, 1995

Интернет ресурсы

Интегрированные системы

• http://www.alberta-fem.de/
• http://www.scicomp.ucsd.edu/~reb/software.html
• http://scicomp.ucsd.edu/~mholst/codes/mc/index.html

Генераторы сеток

• http://www.andrew.cmu.edu/user/sowen/mesh.html

Библиотеки приложений

• http://www-users.cs.umn.edu/~saad/software/SPARSKIT/sparskit.html
• http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/umfpack/
• http://users.wpi.edu/~walker/NITSOL/
• http://www.caam.rice.edu/software/ARPACK/
• http://www-rocq1.inria.fr/gamma/cdrom/www/nsc2ke/eng.htm

Визуализация

• http://www.geomview.org/
• http://www-xdiv.lanl.gov/XCM/gmv/

Электронные презентации

• http://www.nsu.ru/education/powerpoint/
• http://prosper.sourceforge.net/

Техническое задание проекта 1

Цель: исследование динамики аэродинамического обтекания ускоряющегося препятствия (крыла самолета NACA0012), выявление наиболее характерных черт поля скоростей через решение частичной задачи на собственные значения корреляционной матрицы, анизотропная адаптация к осредненному полю скоростей и пересчет решения на адаптивной сетке.

Этапы проекта: 

1. Генерация локально сгущающейся сетки
2. Решение стационарных двумерных задач дозвукового и трансзвукового обтекания
3. Решение нестационарной задачи обтекания с ростом скорости набегающего потока
4. Визуализация результата
5. Генерация корреляционной матрицы и решение частичной задачи на собственные значения
6. Анизотропная адаптация сетки к осредненному полю скоростей
7. Пересчет нестационарной задачи обтекания с ростом скорости набегающего потока
8. Визуализация, в том числе анимационная

Интернет ресурсы:

• http://www-rocq1.inria.fr/gamma/cdrom/www/nsc2ke/eng.htm
• http://sourceforge.net/projects/ani2d/
• http://www.caam.rice.edu/software/ARPACK

Техническое задание проекта 2

Цель: адаптивное решение уравнения конвекции-диффузии с резкими перепадами решения, сравнение регулярных и анизотропных триангуляций для качества получаемого решения, а также эффективности многосеточного метода, точного и неточного разложения матрицы системы на верхний и нижний треугольные множители.

Этапы проекта:

1. Решение двумерного уравнения конвекции-диффузии на последовательности адаптивно измельчающихся регулярных сеток
2. Визуализация и анализ результата
3. Решение линейной системы на самой мелкой сетке с помощью многосеточного метода, а также прямого метода (точное $LU$-разложение) и итерационного метода (GMRES и неполное $ILU$-разложение как переобуславливатель)
4. Анизотропная адаптация сетки к решению
5. Генерация новой конечно-элементной системы
6. Решение этой системы с помощью прямого метода (точное $LU$-разложение) и итерационного метода (GMRES и неполное $ILU$-разложение как переобуславливатель)
7. Визуализация и анализ результата
8. Сравнение самого решения и эффективности процедур его получения

Интернет ресурсы:

• http://www.scicomp.ucsd.edu/~reb/software.html
• http://www-users.cs.umn.edu/~saad/software/SPARSKIT/sparskit.html
• http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/umfpack
• http://sourceforge.net/projects/ani2d/

Техническое задание проекта 3

Цель: решение двумерных и трехмерных задач нестационарного обтекания неподвижных препятствий (цилиндра с квадратным сечением, куба, параллелепипеда) и подвижных препятствий (вращающегося ротора) несжимаемой жидкостью, обоснованный анализ решения через двумерную и трехмерную динамическую визуализацию

Этапы проекта:

1. Генерация плоских четырехугольных сеток и решение двумерных нестационарных уравнений Навье-Стокса для препятствия в форме круга и квадрата
2. Двумерная визуализация расчета и сетки, динамическая и статическая
3. Генерация пространственных шестигранных сеток и решение трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса для препятствия в виде цилиндра с квадратным сечением, куба, параллелепипеда
4. Трехмерная визуализация расчета и сетки, динамическая и статическая
5. Решение трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса с движущимися границами и его одновременная визуализация

Интернет ресурсы:

• http://www.featflow.de
• http://www.geomview.org
• http://www-xdiv.lanl.gov/XCM/gmv

4. Функциональный анализ и вычислительная математика

I. Функциональные пространства и задачи теории приближений
1. Метрические пространства
Аксиомы метрического пространства. Открытый, замкнутый шар и сфера в метрическом пространстве. Примеры пространств. Сходимость, свойства пределов, замкнутые и открытые множества. Фундаментальные последовательности и их свойства. Полнота и сепарабельность C[a,b], полнота l2. Теорема о вложенных шарах. Пополнение пространств. Непрерывные операторы и функционалы, абстрактные функции.
2. Компактные множества в метрических пространствах
Компактные, бикомпактные, локально компактные множества. Ограниченность и компактность. E-сеть. Теорема Хаусдорфа. E-энтропия. Бикомпактные множества и задачи вариационного исчисления.
3. Постановка основных экстремальных задач теории приближений.
Основные характеристики наилучших приближений. Задача I о наилучшем приближении индивидуального элемента x из X фиксированным аппроксимирующим множеством A. Задача II о наилучшем приближении заданного множества C из X фиксирующим аппроксимирующим множеством. Задача III о наилучшем приближении заданного множества C классом аппроксимирующих множеств A. N-поперечник по Колмогорову и epsilon-энтропия множества C, чебышевский центр. Задача IV о приближении заданного множества при помощи фиксированного метода приближения. Задача о наилучшем методе приближения.
4. Принцип сжатых отображений
Неподвижные точки оператора. Операторы сжатия. Принцип сжатых отображений и метод последовательных приближений. Приближения для решения нелинейных уравнений, систем линейных алгебраических уравнений, интегральных и обыкновенных дифференциальных уравнений.
5. Линейные пространства
Аксиомы и свойства. Примеры. Подпространство. Размерность и линейная зависимость. Линейная оболочка, базис. Линейное отображение, ядро отображения, лемма о взаимнооднозначном отображении. Пространство линейных отображений. Изоморфизм линейных пространств. Выпуклые множества.
6. Нормированные, банаховы пространства
Нормированные, полунормированные, строго нормированные пространства. Аксиомы. Свойства норм, сходимость. Примеры. Эквивалентные нормы. Банаховы пространства. Подпространство. Ряды. Полнота системы элементов. Базис.
7. Пространства со скалярным произведением. Гильбертовы пространства
Пространства со скалярным произведением: евклидово и унитарное, свойства скалярного произведения. Неравенство Коши-Буняковского. Гильбертово пространство и его свойства. Сильная и слабая сходимость. Равенство параллелограмма. Строгонормированность. Примеры. Ортогональность и линейная независимость. Процесс ортогонализации Сонина-Шмидта. Ортогональные и ортонормированные системы. Эрмитовы и симметричные билинейные формы. Формальная конструкция построения новых (энергетических) пространств. Пространство Соболева.
8. Задачи о наилучшем приближении. Ортогональные разложения и ряды Фурье в гильбертовом пространстве
Задача о нахождении наилучшего приближения элементами выпуклого множества. Разложение в сумму ортогональных подпространств. Ряды Фурье, минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля-Стеклова. Полные ортогональные системы, ортогональные разложения и сепарабельность. Изоморфизм и изометрия гильбертовых пространств.
9. Некоторые экстремальные задачи в нормированном и гильбертовом пространствах
Задача I в нормированном пространстве, существование и единственность. Системы уравнений с матрицей Грама в задаче I в гильбертовом пространстве. Свойства определителей Грама, положительность, обобщенное неравенство Коши-Буняковского. Оценка отклонения. Задача I для пространства C[a,b], если множество A -многочлены. Наименьшее отклонение. Теорема о существовании и единственности наилучшего приближения многочленами и теорема об альтернансе.
10. Многочлены Чебышева 1-го рода и их свойства.
Многочлены, наименее отклоняющиеся от нуля Многочлены Чебышева 1-го рода и их свойства. Решение задачи типа I: о приближении многочленом степени $n-1$; о построении многочленов, наименее отклоняющихся от нуля, с фиксированным коэффициентом при старшей степени или фиксированным значением в некоторой точке. Задача IV и решение задачи V о наилучшем методе приближения интерполяционным многочленом Лагранжа.
II. Линейные операторы и функционалы
1. Линейные операторы в нормированных пространствах
Определение линейного оператора, его области определения и значений. Расширение оператора. Примеры. Непрерывность, ограниченность, норма линейного оператора. Связь между непрерывностью и ограниченностью. Оценки норм суммы и произведения операторов. О продолжении по непрерывности линейного оператора.
2. Пространства линейных операторов
Банахово пространство операторов. Сильная сходимость операторов и сходимость по норме: связь между ними. Ряды. Коммутативность. Операторные ряды, функции от операторов. Ряд Неймана. Операторы проектирования.
3. Обратные операторы. Линейные операторные уравнения. Мера обусловленности оператора
Основные понятия, теорема о существовании обратного оператора. Линейное операторное уравнение и нахождение решения его через обратный оператор. Мера обусловленности оператора и применение ее для оценки приближенного решения.
4. Спектр и спектральный радиус оператора. Условия сходимости ряда Неймана.
Теорема о возмущениях. Резольвента оператора, резольвентное множество, спектр оператора (дискретный, непрерывный, остаточный). Собственные элементы и собственные значения. Примеры. Спектральный радиус и норма оператора. Нильпотентные операторы. Определение самосопряженного оператора и его спектрального радиуса. Условия сходимости и расходимости ряда Неймана. Теорема о существовании обратного оператора к (I-A). Теорема о возмущениях (существование обратных операторов).
5. Принцип равномерной ограниченности
Принципы равномерной ограниченности, фиксации и сгущения особенностей. Теорема Банаха-Штейнгауза. Применение теоремы для оценки метода интерполирования по Лагранжу, к представлению функций интегралами и рядами Фурье.
6. Линейные функционалы и сопряженное пространство
Линейные функционалы в нормированном пространстве, ограниченность, норма. Примеры. Сопряженное пространство, понятие о рефлексивном пространстве, слабая сходимость функционалов и элементов. Теорема Банаха-Штейнгауза для линейных функционалов и применение ее к вопросу о сходимости квадратурных формул. Задача о построении квадратурных формул, функционал погрешности. Теоремы Пойя и Стеклова, сходимость квадратурных формул Гаусса.
7. Теорема Рисса. Теорема Хана-Банаха. Задача об оптимизации квадратурных формул
Теоремы Рисса об общем виде линейных функционалов и Хана-Банаха о продолжении линейного функционала для гильбертовых пространств. Применение теоремы Рисса к задаче об оптимизации квадратурных формул.
8. Сопряженные, самосопряженные, симметричные операторы
Сопряженный оператор, линейность, ограниченность, норма. Сопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Примеры. Самосопряженный оператор, свойства суммы и произведения, степень и многочлен от самосопряженного оператора. Симметричный оператор. Примеры. Неотрицательные и положительно определенные операторы, обобщенное неравенство Коши-Буняковского. Свойства оператора проектирования. Норма самосопряженного оператора, нижняя и верхняя границы его.
9. Собственные значения и собственные элементы самосопряженных и симметричных операторов
Вещественность квадратичной формы. Свойства собственных значений и элементов самосопряженных и симметричных операторов (действительность собственных значений и ортогональность собственных элементов). Собственные пары степени оператора, многочленов от оператора, положительно определенного оператора. Границы собственных значений самосопряженного оператора. Отношение Релея. Определение функции от самосопряженного оператора.
10. Квадратичные функционалы с положительно определенным, симметричным или симметризуемым оператором и обобщенные решения операторных уравнений
Квадратичные функционалы с положительно определенным, симметричным оператором. Энергетическое пространство, приведение функционала к каноническому виду, функционалы ошибок, энергии наименьших квадратов, обобщенных наименьших квадратов. Теорема о минимизации функционала энергии и решении уравнения с самосопряженным оператором. Понятие об обобщенном решении. Свойства минимизирующих последовательностей, симметризуемые операторы.
11. Вариационные методы минимизации квадратичных функционалов
Обобщенный метод Ритца, уравнения метода, свойства приближенного решения, сходимость. Конкретные реализации метода: методы Ритца, наименьших квадратов. Понятие о проекционных методах и методе Галеркина. Замечания о выборе координатных элементов.12. Вариационные уравнения. Теорема Вишика-Лакса-Мильграма
Билинейные формы, непрерывность, V-эллиптичность. Вариационные уравнения. Теорема Вишика-Лакса-Мильграма о существовании, единственности и непрерывной зависимости решений вариационных уравнений. Симметричный случай, связь с задачей о минимуме квадратичного функционала.
13. Вполне непрерывные операторы в гильбертовом пространстве
Некоторые свойства компактных множеств в гильбертовом пространстве. Конечномерный оператор. Вполне непрерывные операторы и их свойства. Теорема о представлении вполне непрерывного оператора. Уравнение 2-го рода с вполне непрерывным оператором, формулировка теорем Фредгольма. Собственные значения и собственные элементы вполне непрерывного оператора.
14. Пространства Соболева. Теоремы вложения
Общее определение пространства Соболева. Гильбертовы пространства Соболева. Обобщенные производные. Теоремы о следах. Неравенство Пуанкаре-Стеклова. Оператор вложения. Формулировка теорем вложения. Простейшая теорема вложения.
15. Обобщенное решение задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка
Классическая задача Дирихле. Интегральное тождество. Обобщенная задача. Существование и единственность ее решения. Приближенные методы: методы Галеркина и Ритца и их реализация в методе конечных элементов. III. Итерационные методы решения линейных операторных уравнений
1. Общая теория итерационных методов
Метод последовательных приближений для линейных уравнений 2-го рода, необходимое и достаточное условия сходимости, оценка для ошибки, достаточные условия сходимости. Итерационные методы решения линейных уравнений 1-го рода. Определение многошаговых, одношаговых, стационарных, циклических, линейных итерационных методов. Общий вид одношаговых, линейных итерационных методов. Скорость сходимости.
2. О существовании сходящихся итерационных методов и их оптимизации
Методы преобразования уравнения к виду, пригодному для итераций симметризуемый случай. О существовании итерационных методов для нахождения решений линейных уравнений 1-го рода. Методы ускорения сходимости. Проблема оптимизации. Функционал потерь. Стационарный случай.
3. Чебышевские одношаговые (двучленные) итерационные методы
Формулировка циклического метода, оптимальность. Оценка ошибки. Формулы для параметров. Понятие об устойчивости и алгоритмах упорядочения параметров. Примеры. Бесконечно продолжаемые устойчивые оптимальные методы.
4. Чебышевский двухшаговый (трехчленный) итерационный метод
Формулировка двухшагового итерационного метода и ассоциированной с ним системы многочленов. Оптимизация, формулы для оптимальных параметров.
5. Чебышевские итерационные методы для уравнений с симметризуемыми операторами
Формулы итерационных методов, оценки сходимости, выбор операторов симметризации.
6. Блочный чебышевский метод
Формулы блочного метода, оптимизация, определение оптимальных параметров, оценки сходимости.
7. Дифференцирование и интегрирование нелинейных операторов. Метод Ньютона
Производные Фреше и Гато. Дифференцируемые функционалы и интеграл от абстрактной функции, метод Ньютона.

Рекомендуемая литература
1. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Гос. изд-во физ-мат.лит., 1958.
2. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. - М.: Высшая школа, 1982.
3. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.
4. Канторович Л.В., Акилов В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.
5. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.
6. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969.
7. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.
8. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. - М.: Наука, 1976.
9. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977.
Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.
11. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1973.
12. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. В 2-х т. М.: Гос. изд-во физ-мат.лит., 1959.
13. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977.
14. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М.-Л.: Гос. изд-во техн.-теор.лит., 1949.
15. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Наука, 1982.
16. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.
17. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1981.
18. Лебедев В.И. Метод композиции. - М.: ОВМ АН СССР, 1986.
19. Михлин С.Г. Курс математической физики. - М.: Наука, 1968.
20. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985.
21. Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М.: Наука, 1984.
22. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд-во МГУ, 1976.

5. Сопряжённые уравнения и методы оптимального управления

6. Вариационные и проекционные методы

7. Интегральные уравнения и их использование в математическом моделировании

8. Математические модели в иммунологии и медицине

9. Вычислительные технологии и математическое исследование биологических систем

10. Вычислительные методы геофизической гидродинамики

11. Особые интегральные уравнения и некоторые их приложения

12. Математически модели в эпидемиологии

13. Вычислительно-информационные технологии моделирования климата

 1. Физические основы. Составляющие климатической системы, основные физические процессы, прямые и обратные связи. Климат как ансамбль состояний климатической системы. Внутренняя и вынужденная климатическая изменчивость, глобальные и региональные изменения климата. Антропогенные воздействия на климатическую систему.  Модель   как "лабораторный стенд" для исследования климата и его изменений. Ретроспективный обзор развития моделирования как инструментария  разработки схем гидродинамического прогноза погоды и решения задач теории климата. Принципы построения и верификации климатических моделей. Типичные базы данных, используемые  для верификации моделей. Международные программы сравнения моделей между собой и с данными наблюдений.

2. Математическое описание. Основные уравнения гидротермодинамики атмосферы и океана для описания эволюции состояния климатической системы. Проблема параметризации процессов подсеточных масштабов. Методы параметризации отдельных физических процессов: 1) конвекция, турбулентный перенос в пограничных слоях атмосферы и океана, двумерная турбулентность, волновое сопротивление; 2) радиационный перенос, облачность, осадки; 3) тепловлагоперенос в деятельном слое суши и криосферы, растительном и снежном покрове. Методы сопряжения моделей атмосферы и океана. Принципы построения конечномерных аппроксимаций для численной реализации климатических моделей. Численный эксперимент. Роль суперкомпьютеров и параллельных вычислений в планировании и проведении численных экспериментов с климатическими моделями.

3. Воспроизведение современного климата. Моделирование общей циркуляции атмосферы. Систематические ошибки в воспроизведении параметров состояния атмосферы. Основные результаты реализации программы сравнения атмосферных моделей (AMIP). Роль пространственного разрешения и степени детализации описания физических процессов подсеточных масштабов. Особенности моделирования регионального климата. Моделирование общей циркуляции океана. Моделирование  совместной циркуляции глобальной атмосферы и тропической части Тихого океана. Воспроизведение совместной циркуляции атмосферы и океана. Предварительные итоги реализации программы сравнения совместных моделей (CMIP).

4. Чувствительность климата. Основные понятия теории чувствительности климата к малым внешним возмущениям.  Линейный оператор отклика модели на малые внешние воздействия. Отклик атмосферы на аномалию температуры поверхности океана в тропиках. Локализованный и глобальный отклики атмосферной циркуляции на аномалию температуры поверхности океана в средних широтах. Отклик мезосферы и стратосферы на реально наблюдаемые изменения концентрации углекислого газа и озона в верхней атмосфере. Оценка возможных будущих изменений климата за счет систематического роста атмосферной концентрации углекислого газа (результаты численных экспериментов с совместными моделями в рамках программы CMIP).