Кафедра ВТиМ ВМиК МГУ

    Кафедральные курсы

[Главная Новости Студенты Преподаватели Направления Учеба Литература Проекты Партнеры]

 

2017-2018 уч. год

 

Кафедральные курсы (Бакалавриат)

Название

Лектор

Объем (по плану)

Отчетность

5 семестр

1.

Матрицы и вычисления

доц. Замарашкин Н.Л.

1л. + 1.с.

экзамен

2.

Функциональный анализ и вычислительная математика

проф. Богатырев А.Б.

1 л.

зачет

6 семестр

3.

Матрицы и вычисления.

доц. Замарашкин Н.Л.

1л. + 1.с.

экзамен

4.

Функциональный анализ и вычислительная математика

проф. Богатырев А.Б.

1 л.

экзамен

5.

Математические методы численного анализа

доц. Горейнов С.А.

1 л.

экзамен

6.

Современные вычислительные технологии

проф. Василевский Ю.В., к.ф.м.н. Никитин К.Д.

1 л.

зачет

7 семестр

8.

Вариационно-проекционные методы

проф. Василевский Ю.В.

1 л.

экзамен

9.

Спецкурс по выбору

   

экзамен

8 семестр

10.

Вариационно-проекционные методы

проф. Василевский Ю.В.

1л. + 1.с.

экзамен

11.

Матрицы, тензоры, вычисления

акад. Тыртышников Е.Е., Лебедева О.С.1

1л. + 1.с.

экзамен

 

Кафедральные курсы (Магистратура)

Название

Лектор

Объем

Отчетность

1 семестр

1.

Матричные методы для сжатия и анализа данных.

Д.ф.м.н. Оселедец И.В.Катрутца А.

1л + 1с

Экз

2.

Вычислительные технологии и моделирование биологических систем

Проф. Бочаров Г.А.

1л+0.5с

Экз

2 семестр

3

Сопряженные уравнения и методы оптимального управления

Проф. Агошков В.И.

Экз

3 семестр

8

Вычислительные методы геофизической гидродинамики

Проф. Толстых М.А.

0.5л+0.5с

зачет

9

Сопряженные уравнения и методы оптимального управления

Проф. Агошков В.И.

1л+1с

Экз

4 семестр

10

Практические методы решения систем алгебраических уравнений (на английском языке)

к.ф.м.н. Горейнов С.А.

зачет

11

Численные методы в интегральных уравнениях и их приложения (для 1 потока)

Проф. Сетуха А.В.

Экз.

 

Спецкурсы по выбору заявленные на 2017-2018 г.

Название дисциплины

Лектор

Уровень подготовки*

Весна/осень

Математические модели в иммунологии и медицине.

Mathematical models in immunology and medicine.

Проф. Романюха А.А.

Бак

осень

Алгебра и геометрия тензоров.

Algebra and Geometry of Tensors.

Акад., Е.Е. Тыртышников

маг

1 год

Метод граничных элементов.

Boundary element method

проф. А.В.Сетуха

маг

1 год

Поля, кольца, иделы.

Fields, Rings, IdealsАкад.,

Е.Е. Тыртышников

асп

осень

Алгебраические многообразия и тензоры.

Algebraic Varieties and Tensors.

Акад., Е.Е. Тыртышников

асп

весна

Теория потенциала.

Potential theory

проф. А.В.Сетуха

асп

осень

Численный метод интегральных уравнений в краевых задачах.

Numerical method of integral equations for boundary value problems.

проф. А.В.Сетуха

асп

весна

 

Спецкурсы по выбору на весенний семестр по прошлому году

 

1. Математические модели в демографии и эпидемиологии (Mathematical models in demography and epidemiology.)   (Полугодовой: Специальный курс по выбору студента. Весенний семестр. Для бакалавров и магистров).  Лекторы 2016-2017 уч.года: д.ф.м.н., проф. Романюха А.А., к.ф.м.н. Санникова Т.Е.(ИВМ РАН).

 

2. Многосеточные методы и методы декомпозиции области (Multigrid methods and domain decomposition methods) - (Полугодовой: Специальный курс по выбору студента. Весенний семестр. Для бакалавров и магистров)  Лектор 2016-2017 уч.года: проф., д.ф.м.н., Василевский Ю.В.

 

3. Математические модели параллельных вычислений. (Parallel computations mathematical models) (Полугодовой: Специальный курс по выбору студента. Весенний семестр. Для бакалавров и магистров)  Лектор 2016-2017 уч.года: Фролов А.В., (к.ф.-м.н., доцент, ст.н.с. ИВМ РАН).

 

Кафедральные курсы (НОВАЯ ПРОГРАММА 2014-2015 у.г.)

 

Название

Лектор

Объем (по плану в неделю

Отчетность

5 семестр

1.

Матрицы и вычисления.

доц. Замарашкин Н.Л.

1л. + 1.с.

экз.

2.

Функциональный анализ и вычислительная математика

проф. Богатырев А.Б.

1 л.

зач.

6 семестр

3

Матрицы и вычисления.

доц. Замарашкин Н.Л.

1л. + 1.с.

экз.

4

Функциональный анализ и вычислительная математика

проф. Богатырев А.Б.

1 л.

экз..

5

Математические методы численного анализа.

доц. Горейнов С.А.???

1 л.

экз.

6

Современные вычислительные технологии

проф. Василевский Ю.В.

1 л.

зач.

7 семестр

8

Вариационно-проекционные методы

проф. Василевский Ю.В.

1 л.

экз.

9

Спецкурс по выбору

экз.

8 семестр

10

Вариационно-проекционные методы

проф. Василевский Ю.В.

1 л.+ 1с.

экз.

11

Матрицы, тензоры, вычисления

чл.-корр. Тыртышников Е.Е.

1 л.+ 1с.

экз.

 

Спецкрусы по выбору студента, заявленные на 2014-2015 г.

Алгебра и геометрия тензоров (чл.-корр. Тыртышников Е.Е.)

Метод граничных интегральных уравнений. (проф. Сетуха А.В.)

 

Спецсеминары кафедры ВТМСпецкурсы кафедры ВТМПрограммы спецкурсов кафедры ВТМНаучные семинары кафедры ВТМ

Спецсеминары

1

Линейная алгебра и ее приложения

3 (5,6) 2

Е.Е.Тыртышников

С.А.Горейнов

Н.Л.Замарашкин

2

Моделирование природной среды и климата

3 (5,6) 2

В.Н.Лыкосов

3

Модели в иммунологии и медицине

3 (5,6) 2

Г.А.Бочаров

А.А.Романюха

С.Г.Руднев

Спецкурсы

Кафедральные курсы

Курсы читаемые ПО СТАРОЙ ПРОГРАММЕ

А) Кафедральные курсы (обязательные)

1. Вариационно-проекционные методы. проф. Ю.В. Василевский 7-8 семестры, гр.403

2. Сопряженные уравнения и методы оптимального управления. проф. В.И. Агошков 6-7 семестры, гр. 303, 403

3. Вычислительные методы геофизической гидродинамики, проф. М.А. Толстых 7-8 семестры, гр. 403

Б) НОВАЯ ПРОГРАММА

Кафедральные курсы

Название

Лектор

Объем (по плану)

Отчетность

5 семестр

1.

Матрицы и вычисления.

доц. Замарашкин Н.Л.

1л. + 1.с.

экз

2.

Функциональный анализ и вычислительная математика

проф. Богатырев А.Б.

1 л.

зач

6 семестр

3

Матрицы и вычисления.

доц. Замарашкин Н.Л.

1л. + 1.с.

экз

4

Функциональный анализ и вычислительная математика

проф. Богатырев А.Б.

1 л.

экз.

5

Математические методы численного анализа.

Доц. Горейнов С.А.

1 л.

экз

6

Современные вычислительные технологии

проф. Василевский Ю.В.

1 л.

зач.

7 семестр(с 2014-2015 уч. г.)

8

Вариационно-проекционные методы

проф. Василевский Ю.В.

1 л.

экз

8 семестр(с 2014-2015 уч. г.)

9

Вариационно-проекционные методы

проф. Василевский Ю.В.

1 л.+ 1с

экз

 

Кафедра читает межфакультетский курс "Математические модели и методы системной биологии" ("Mathematical models and methods in systems biology"), (полугодовой, 36 часов)

Курс посвящен описанию математиче­ских моделей, методов и результатов их исследований в системной биологии. Рассматрив­аются модели сложных динамических процессов и явлений в живых системах, в частности модели истории жизни, старения и адаптации. Эти модели используются для решения задач анализа данных в эпидемиологии, иммунологиии медицине.

Ответственный лектор проф., д.ф.м.н. Романюха А.А.

 

Спецкрусы по выбору студента, читаемые в 2013-2014 г.

Математические модели в иммунологии и медицине

Mathematical models in immunology and medicine

проф Романюха А.А., Руднев С.Г.

Матрицы, тензоры, вычисления

Matrix, tensors, calculations

Чл.корр. Тыртышников Е.Е., асс. Лебедева О.С.

Численные методы в интегральных уравнениях и их приложения (годовой)

Numerical methods in integral equations and their applications

проф. Сетуха А.В

 

 

Спецкурсы, читавшиеся в прошлые годы:

1

Матрицы и вычисления

3 (5) 2/2

Н.Л.Замарашкин

2

Математические методы численного анализа

3 (5,6) 2/2

Е.Е.Тыртышников, Н.Л.Замарашкин

3

Современные вычислительные технологии

3 (6) 2

Ю.В.Василевский

4

Функциональный анализ и вычислительная математика

3 (5,6) 2/2

В.И.Лебедев, А.Н.Богатырев

5

Сопряженные уравнения и методы оптимального управления

3 (6) 2

В.И.Агошков

6

Вариационные и проекционные методы

4 (7,8) 2

В.И.Агошков

7

Интегральные уравнения и их использование в математическом моделировании

3 (6) 2

И.К.Лифанов

8

Математические модели в иммунологии и медицине

3 (6) 2

А.А.Романюха, С.Г.Руднев

9

Вычислительные технологии и математическое исследование биологических систем

4 (7,8) 2

Г.А.Бочаров

10

Вычислительные методы геофизической гидродинамики

4 (7,8) 2

М.А.Толстых

11

Особые интегральные уравнения и некоторые их приложения

4 (7) 2

И.К.Лифанов

12

Математически модели в эпидемиологии

4 (7,8) 2

А.А.Романюха

13

Вычислительно-информационные технологии моделирования климата

3 (6) 2

В.Н. Лыкосов

Программы спецкурсов

1. Матрицы и вычисления

1. Линейная зависимость величин. Системы линейных уравнений. Матрицы как инструмент для анализа линейной зависимости.
Операции над матрицами. Ассоциативность и некоммутативность умножения матриц.
2. Вычислительный аспект умножения матриц: классическое правило умножения, алгоритм Винограда, алгоритм Штрассена.Блочные матрицы. Качество алгоритмов и модели компьютеров. Последовательные и параллельные вычисления.
3. Матрицы как обобщение понятия числа. Группа, кольцо, поле. Специальные классы матриц. Матрицы перестановки.Схема сдваивания для ассоциативной операции. Рекуррентное сдваивание.
4. Матрица как оператор. Ядро и образ матрицы. Диагонализация матрицы. Собственное значение и собственный вектор.Инвариантные подпространстсва. Теорема Жордана.
5. Характеристический полином матрицы и методы его вычисления. Параллельные алгоритмы вычисления обратной матрицы.
6. Циркулянтные и теплицевы матрицы. Групповое свойство невырожденных циркулянтных матриц. Спектральная теорема для циркулянтных матриц. Матрица Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Быстрые алгоритмы периодической и апериодической свертки.
7. Метрическое пространство. Вложенные шары. Нормированное пространство. Векторные и матричные нормы. Эквивалентные нормы. Операторные нормы.
8. Скалярное произведение. Ортогональность. Длина вектора. Изометричные матрицы. Сохранение длин и унитарные матрицы. Теорема Шура.
9. Нормальные матрицы. Знакоопределенные матрицы. Сингулярное разложение матрицы. Унитарно инвариантные нормы. Аппроксимации меньшего ранга.
10. Малые возмущения. Число обусловленности матрицы. Сходящиеся матрицы и ряды. Простейший итерационный метод. Обратные матрицы и ряды. Обусловленность линейной системы. Согласованность матрицы и правой части.
11. Возмущение собственных значений. Непрерывность корней полинома. Круги Гешгорина. Малые возмущения собственных значений и векторов. Обусловленность простого собственного значения.
12.Спектральные расстояния. Теорема Виландта-Хоффмана. Двоякостохастические матрицы и теорема Биркгоффа. Перестановочные диагонали и теорема Холла.
13. Машинные числа. Аксиомы машинной арифметики. Ошибки округления для скалярного произведения. Прямой и обратный анализ. Проблемы сертификации алгоритмов. "Идеальные" и "машинные" тесты. Решение треугольных систем.
14. Прямые методы для линейных систем. Теория LU-разложения. Ошибки округления для $LU$-разложения. Рост элементов и выбор ведущего элемента. Метод Холецкого. Треугольные разложения и решение систем. Как уточнить решение.
15. QR-разложение матрицы. Матрицы отражения. Исключение элементов с помощью отражений. Матрицы вращения. Исключение элементов с помощью вращений. Машинные реализации отражений и вращений. Метод ортогонализации. Потеря ортогональности. Как бороться с потерей ортогональности. Модифицированный алгоритм Грама-Шмидта.
16. Неотрицательные матрицы. Матрицы и графы. Разложимость. Теорема Перрона-Фробениуса. Методы для разреженных матриц. Задача о сепараторе.
17. Подход В.В.Воеводина к решению проблемы портабельности программного обеспечения. Программа и математический алгоритм. Граф алгоритма. Граф вычислительной системы. Проблемы построения и анализа графов. Проблемы отображения алгоритмов на вычислительные системы.

Рекомендуемая литература
1. В.В.Воеводин, Вычислительные основы линейной алгебры. Наука, 1977.
2. В.В.Воеводин, Е.Е.Тыртышников, Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами. Наука, 1987.
3. Дж.Форсайт, М.Малькольм, К.Моулер, Машинные методы математических вычислений. Мир, 1980.
4. Е.Е.Тыртышников, Краткий курс численного анализа. ВИНИТИ, 1994.

2. Математические методы численного анализа

1. Проблема собственных значений. Степенной метод. Итерации подпространств. QR-алгоритм. QR-алгоритм со сдвигами. Глобальная сходимость. Квадратичная икубическая сходимость. Организация вычислений. Как найти сингулярное разложение.
2. Приближение функций. Полиномиальная интерполяция. Интерполяционный полином Лагранжа. Погрешность лагранжевой интерполяции. Разделенные разности. Формула Ньютона. Разделенные разности с кратными узлами. Обобщенные интерполяционные условия. Таблица разделенных разностей.
3. Сходимость интерполяционного процесса. Алгебраические и тригонометрические полиномы. Проекторы, связанные с рядами Фурье. Интерполяционные проекторы для чебышевских сеток.
4. Сплайны. Вариационное свойство естественных сплайнов. Как строить естественные сплайны. Аппроксимационные свойства естественных сплайнов. B-сплайны. Квазилокальность и ленточные матрицы.
5. Минимизация нормы. Равномерные приближения. Полиномы Чебышева. Ряд Тейлора и его дискретный аналог.
6. Метод наименьших квадратов. Ортогональные полиномы. Трехчленные рекуррентные соотношения. Корни ортогональных полиномов. Трехчленные соотношения и трехдиагональные матрицы. Соотношения разделения между корнями. Ортогональные полиномы и разложение Холецкого.
7. Численное интегрирование. Интерполяционные квадратурные формулы. Алгебраическая точность. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Формулы Гаусса. Составные квадратурные формулы. Правило Рунге для оценки погрешностей. Как интегрировать плохие функции.
8. Нелинейные уравнения. Метод простой итерации. Сходимость и расходимость метода простой итерации. Оптимизация метода простой итерации. Метод Ньютона и эрмитова интерполяция. Многомерный вариант метода Ньютона. Прямая и обратная интерполяция. Сравнение метода секущих и метода касательных.
9. Методы минимизации. Метод Ньютона. Релаксация. Дробление шага. Существование и единственность точки минимума. Градиентный метод с дроблением шага. Метод скорейшего спуска. Быстрое вычисление градиента. Понятие об овражном методе, методе сопряженных направлений, квазиньютоновских методах, релаксационном методе глобализации сходимости.
10. Квадратичные функционалы и линейные системы. Минимизация на подпространствах и проекционные методы. Подпространства Крылова. Оптимальность подпространств Крылова. Метод минимальных невязок.
11. A-норма и A-ортогональность. Метод сопряженных градиентов. Метод Арнольди и метод Ланцоша. Псевдоскалярное произведение и метод биортогонализации. Квазиминимизация.
12. Сходимость метода сопряженных градиентов. Классическая оценка сходимости и ее уточнения. Сверхлинейная сходимость и исчезающие собственные значения. Числа Ритца и векторы Ритца. Теорема Вандерслюиса-Вандерворста. Предобусловливание в неэрмитовом и эрмитовом случае. Спектральная эквивалентность и кластеры.
13. Интегральные уравнения. Функциональных пространства и свойства интегральных операторов. Эллиптичность. Уравнение с логарифмическим ядром. Теорема Шо-Ведланда.
14. Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Метод Галеркина. Роль строгой эллиптичности. Компактные возмущения.
15. Интегральные уравнения и структурированные матрицы. Циркулянтные предобусловливатели. Методы быстрого приближенного умножения.

Рекомендуемая литература
1. Е.Е.Тыртышников, Краткий курс численного анализа. ВИНИТИ, 1994.
2. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков, Численные методы. Наука, 1987.
3. G.H.Golub, Ch. Van Loan, Matrix Computations, The Hopkins University Press, 1989.

3. Современные вычислительные технологии

Курс для студентов 3 курса ВМК, читается в 6 семестре.

Семинары 32 часа, самостоятельная работа 32 часа.

За курс отвечает кафедра вычислительных технологий и моделирования.

Автор программы Василевский Ю.В.. Преподаватель Василевский Ю.В.

Дополнительная информация

Аннотация

Целью курса является ознакомление с основными этапами технологии инженерных вычислений.

Содержание курса

  1. Принципы создания и использования библиотек
  2. Интегрированные системы
  3. Геометрическое представление расчетной области
  4. Генерация сеток
  5. Создание систем сеточных уравнений
  6. Решение линейных систем
  7. Решение нелинейных систем
  8. Решение задач на собственные значения
  9. Визуализация и анализ расчета
  10. Представление результата

Литература

  1. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. М.:Мир, 2001.
  2. Львовский С.М. Набор и верстка в пакете Latex. Космосинформ, 1995

Интернет ресурсы

Интегрированные системы

Генераторы сеток

Библиотеки приложений

Визуализация

Электронные презентации

Техническое задание проекта 1

Цель: исследование динамики аэродинамического обтекания ускоряющегося препятствия (крыла самолета NACA0012), выявление наиболее характерных черт поля скоростей через решение частичной задачи на собственные значения корреляционной матрицы, анизотропная адаптация к осредненному полю скоростей и пересчет решения на адаптивной сетке.

Этапы проекта: 

  1. Генерация локально сгущающейся сетки
  2. Решение стационарных двумерных задач дозвукового и трансзвукового обтекания
  3. Решение нестационарной задачи обтекания с ростом скорости набегающего потока
  4. Визуализация результата
  5. Генерация корреляционной матрицы и решение частичной задачи на собственные значения
  6. Анизотропная адаптация сетки к осредненному полю скоростей
  7. Пересчет нестационарной задачи обтекания с ростом скорости набегающего потока
  8. Визуализация, в том числе анимационная

Интернет ресурсы:

Техническое задание проекта 2

Цель: адаптивное решение уравнения конвекции-диффузии с резкими перепадами решения, сравнение регулярных и анизотропных триангуляций для качества получаемого решения, а также эффективности многосеточного метода, точного и неточного разложения матрицы системы на верхний и нижний треугольные множители.

Этапы проекта:

  1. Решение двумерного уравнения конвекции-диффузии на последовательности адаптивно измельчающихся регулярных сеток
  2. Визуализация и анализ результата
  3. Решение линейной системы на самой мелкой сетке с помощью многосеточного метода, а также прямого метода (точное $LU$-разложение) и итерационного метода (GMRES и неполное $ILU$-разложение как переобуславливатель)
  4. Анизотропная адаптация сетки к решению
  5. Генерация новой конечно-элементной системы
  6. Решение этой системы с помощью прямого метода (точное $LU$-разложение) и итерационного метода (GMRES и неполное $ILU$-разложение как переобуславливатель)
  7. Визуализация и анализ результата
  8. Сравнение самого решения и эффективности процедур его получения

Интернет ресурсы:

Техническое задание проекта 3

Цель: решение двумерных и трехмерных задач нестационарного обтекания неподвижных препятствий (цилиндра с квадратным сечением, куба, параллелепипеда) и подвижных препятствий (вращающегося ротора) несжимаемой жидкостью, обоснованный анализ решения через двумерную и трехмерную динамическую визуализацию

Этапы проекта:

  1. Генерация плоских четырехугольных сеток и решение двумерных нестационарных уравнений Навье-Стокса для препятствия в форме круга и квадрата
  2. Двумерная визуализация расчета и сетки, динамическая и статическая
  3. Генерация пространственных шестигранных сеток и решение трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса для препятствия в виде цилиндра с квадратным сечением, куба, параллелепипеда
  4. Трехмерная визуализация расчета и сетки, динамическая и статическая
  5. Решение трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса с движущимися границами и его одновременная визуализация

Интернет ресурсы:

4. Функциональный анализ и вычислительная математика

I. Функциональные пространства и задачи теории приближений
1. Метрические пространства
Аксиомы метрического пространства. Открытый, замкнутый шар и сфера в метрическом пространстве. Примеры пространств. Сходимость, свойства пределов, замкнутые и открытые множества. Фундаментальные последовательности и их свойства. Полнота и сепарабельность C[a,b], полнота l2. Теорема о вложенных шарах. Пополнение пространств. Непрерывные операторы и функционалы, абстрактные функции.
2. Компактные множества в метрических пространствах
Компактные, бикомпактные, локально компактные множества. Ограниченность и компактность. E-сеть. Теорема Хаусдорфа. E-энтропия. Бикомпактные множества и задачи вариационного исчисления.
3. Постановка основных экстремальных задач теории приближений.
Основные характеристики наилучших приближений. Задача I о наилучшем приближении индивидуального элемента x из X фиксированным аппроксимирующим множеством A. Задача II о наилучшем приближении заданного множества C из X фиксирующим аппроксимирующим множеством. Задача III о наилучшем приближении заданного множества C классом аппроксимирующих множеств A. N-поперечник по Колмогорову и epsilon-энтропия множества C, чебышевский центр. Задача IV о приближении заданного множества при помощи фиксированного метода приближения. Задача о наилучшем методе приближения.
4. Принцип сжатых отображений
Неподвижные точки оператора. Операторы сжатия. Принцип сжатых отображений и метод последовательных приближений. Приближения для решения нелинейных уравнений, систем линейных алгебраических уравнений, интегральных и обыкновенных дифференциальных уравнений.
5. Линейные пространства
Аксиомы и свойства. Примеры. Подпространство. Размерность и линейная зависимость. Линейная оболочка, базис. Линейное отображение, ядро отображения, лемма о взаимнооднозначном отображении. Пространство линейных отображений. Изоморфизм линейных пространств. Выпуклые множества.
6. Нормированные, банаховы пространства
Нормированные, полунормированные, строго нормированные пространства. Аксиомы. Свойства норм, сходимость. Примеры. Эквивалентные нормы. Банаховы пространства. Подпространство. Ряды. Полнота системы элементов. Базис.
7. Пространства со скалярным произведением. Гильбертовы пространства
Пространства со скалярным произведением: евклидово и унитарное, свойства скалярного произведения. Неравенство Коши-Буняковского. Гильбертово пространство и его свойства. Сильная и слабая сходимость. Равенство параллелограмма. Строгонормированность. Примеры. Ортогональность и линейная независимость. Процесс ортогонализации Сонина-Шмидта. Ортогональные и ортонормированные системы. Эрмитовы и симметричные билинейные формы. Формальная конструкция построения новых (энергетических) пространств. Пространство Соболева.
8. Задачи о наилучшем приближении. Ортогональные разложения и ряды Фурье в гильбертовом пространстве
Задача о нахождении наилучшего приближения элементами выпуклого множества. Разложение в сумму ортогональных подпространств. Ряды Фурье, минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля-Стеклова. Полные ортогональные системы, ортогональные разложения и сепарабельность. Изоморфизм и изометрия гильбертовых пространств.
9. Некоторые экстремальные задачи в нормированном и гильбертовом пространствах
Задача I в нормированном пространстве, существование и единственность. Системы уравнений с матрицей Грама в задаче I в гильбертовом пространстве. Свойства определителей Грама, положительность, обобщенное неравенство Коши-Буняковского. Оценка отклонения. Задача I для пространства C[a,b], если множество A -многочлены. Наименьшее отклонение. Теорема о существовании и единственности наилучшего приближения многочленами и теорема об альтернансе.
10. Многочлены Чебышева 1-го рода и их свойства.
Многочлены, наименее отклоняющиеся от нуля Многочлены Чебышева 1-го рода и их свойства. Решение задачи типа I: о приближении многочленом степени $n-1$; о построении многочленов, наименее отклоняющихся от нуля, с фиксированным коэффициентом при старшей степени или фиксированным значением в некоторой точке. Задача IV и решение задачи V о наилучшем методе приближения интерполяционным многочленом Лагранжа.
II. Линейные операторы и функционалы
1. Линейные операторы в нормированных пространствах
Определение линейного оператора, его области определения и значений. Расширение оператора. Примеры. Непрерывность, ограниченность, норма линейного оператора. Связь между непрерывностью и ограниченностью. Оценки норм суммы и произведения операторов. О продолжении по непрерывности линейного оператора.
2. Пространства линейных операторов
Банахово пространство операторов. Сильная сходимость операторов и сходимость по норме: связь между ними. Ряды. Коммутативность. Операторные ряды, функции от операторов. Ряд Неймана. Операторы проектирования.
3. Обратные операторы. Линейные операторные уравнения. Мера обусловленности оператора
Основные понятия, теорема о существовании обратного оператора. Линейное операторное уравнение и нахождение решения его через обратный оператор. Мера обусловленности оператора и применение ее для оценки приближенного решения.
4. Спектр и спектральный радиус оператора. Условия сходимости ряда Неймана.
Теорема о возмущениях. Резольвента оператора, резольвентное множество, спектр оператора (дискретный, непрерывный, остаточный). Собственные элементы и собственные значения. Примеры. Спектральный радиус и норма оператора. Нильпотентные операторы. Определение самосопряженного оператора и его спектрального радиуса. Условия сходимости и расходимости ряда Неймана. Теорема о существовании обратного оператора к (I-A). Теорема о возмущениях (существование обратных операторов).
5. Принцип равномерной ограниченности
Принципы равномерной ограниченности, фиксации и сгущения особенностей. Теорема Банаха-Штейнгауза. Применение теоремы для оценки метода интерполирования по Лагранжу, к представлению функций интегралами и рядами Фурье.
6. Линейные функционалы и сопряженное пространство
Линейные функционалы в нормированном пространстве, ограниченность, норма. Примеры. Сопряженное пространство, понятие о рефлексивном пространстве, слабая сходимость функционалов и элементов. Теорема Банаха-Штейнгауза для линейных функционалов и применение ее к вопросу о сходимости квадратурных формул. Задача о построении квадратурных формул, функционал погрешности. Теоремы Пойя и Стеклова, сходимость квадратурных формул Гаусса.
7. Теорема Рисса. Теорема Хана-Банаха. Задача об оптимизации квадратурных формул
Теоремы Рисса об общем виде линейных функционалов и Хана-Банаха о продолжении линейного функционала для гильбертовых пространств. Применение теоремы Рисса к задаче об оптимизации квадратурных формул.
8. Сопряженные, самосопряженные, симметричные операторы
Сопряженный оператор, линейность, ограниченность, норма. Сопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Примеры. Самосопряженный оператор, свойства суммы и произведения, степень и многочлен от самосопряженного оператора. Симметричный оператор. Примеры. Неотрицательные и положительно определенные операторы, обобщенное неравенство Коши-Буняковского. Свойства оператора проектирования. Норма самосопряженного оператора, нижняя и верхняя границы его.
9. Собственные значения и собственные элементы самосопряженных и симметричных операторов
Вещественность квадратичной формы. Свойства собственных значений и элементов самосопряженных и симметричных операторов (действительность собственных значений и ортогональность собственных элементов). Собственные пары степени оператора, многочленов от оператора, положительно определенного оператора. Границы собственных значений самосопряженного оператора. Отношение Релея. Определение функции от самосопряженного оператора.
10. Квадратичные функционалы с положительно определенным, симметричным или симметризуемым оператором и обобщенные решения операторных уравнений
Квадратичные функционалы с положительно определенным, симметричным оператором. Энергетическое пространство, приведение функционала к каноническому виду, функционалы ошибок, энергии наименьших квадратов, обобщенных наименьших квадратов. Теорема о минимизации функционала энергии и решении уравнения с самосопряженным оператором. Понятие об обобщенном решении. Свойства минимизирующих последовательностей, симметризуемые операторы.
11. Вариационные методы минимизации квадратичных функционалов
Обобщенный метод Ритца, уравнения метода, свойства приближенного решения, сходимость. Конкретные реализации метода: методы Ритца, наименьших квадратов. Понятие о проекционных методах и методе Галеркина. Замечания о выборе координатных элементов.12. Вариационные уравнения. Теорема Вишика-Лакса-Мильграма
Билинейные формы, непрерывность, V-эллиптичность. Вариационные уравнения. Теорема Вишика-Лакса-Мильграма о существовании, единственности и непрерывной зависимости решений вариационных уравнений. Симметричный случай, связь с задачей о минимуме квадратичного функционала.
13. Вполне непрерывные операторы в гильбертовом пространстве
Некоторые свойства компактных множеств в гильбертовом пространстве. Конечномерный оператор. Вполне непрерывные операторы и их свойства. Теорема о представлении вполне непрерывного оператора. Уравнение 2-го рода с вполне непрерывным оператором, формулировка теорем Фредгольма. Собственные значения и собственные элементы вполне непрерывного оператора.
14. Пространства Соболева. Теоремы вложения
Общее определение пространства Соболева. Гильбертовы пространства Соболева. Обобщенные производные. Теоремы о следах. Неравенство Пуанкаре-Стеклова. Оператор вложения. Формулировка теорем вложения. Простейшая теорема вложения.
15. Обобщенное решение задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка
Классическая задача Дирихле. Интегральное тождество. Обобщенная задача. Существование и единственность ее решения. Приближенные методы: методы Галеркина и Ритца и их реализация в методе конечных элементов. III. Итерационные методы решения линейных операторных уравнений
1. Общая теория итерационных методов
Метод последовательных приближений для линейных уравнений 2-го рода, необходимое и достаточное условия сходимости, оценка для ошибки, достаточные условия сходимости. Итерационные методы решения линейных уравнений 1-го рода. Определение многошаговых, одношаговых, стационарных, циклических, линейных итерационных методов. Общий вид одношаговых, линейных итерационных методов. Скорость сходимости.
2. О существовании сходящихся итерационных методов и их оптимизации
Методы преобразования уравнения к виду, пригодному для итераций симметризуемый случай. О существовании итерационных методов для нахождения решений линейных уравнений 1-го рода. Методы ускорения сходимости. Проблема оптимизации. Функционал потерь. Стационарный случай.
3. Чебышевские одношаговые (двучленные) итерационные методы
Формулировка циклического метода, оптимальность. Оценка ошибки. Формулы для параметров. Понятие об устойчивости и алгоритмах упорядочения параметров. Примеры. Бесконечно продолжаемые устойчивые оптимальные методы.
4. Чебышевский двухшаговый (трехчленный) итерационный метод
Формулировка двухшагового итерационного метода и ассоциированной с ним системы многочленов. Оптимизация, формулы для оптимальных параметров.
5. Чебышевские итерационные методы для уравнений с симметризуемыми операторами
Формулы итерационных методов, оценки сходимости, выбор операторов симметризации.
6. Блочный чебышевский метод
Формулы блочного метода, оптимизация, определение оптимальных параметров, оценки сходимости.
7. Дифференцирование и интегрирование нелинейных операторов. Метод Ньютона
Производные Фреше и Гато. Дифференцируемые функционалы и интеграл от абстрактной функции, метод Ньютона.

Рекомендуемая литература
1. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Гос. изд-во физ-мат.лит., 1958.
2. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. - М.: Высшая школа, 1982.
3. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.
4. Канторович Л.В., Акилов В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.
5. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.
6. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969.
7. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.
8. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. - М.: Наука, 1976.
9. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. М.: Мир, 1977.
Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.
11. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Наука, 1973.
12. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. В 2-х т. М.: Гос. изд-во физ-мат.лит., 1959.
13. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977.
14. Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М.-Л.: Гос. изд-во техн.-теор.лит., 1949.
15. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Наука, 1982.
16. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.
17. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1981.
18. Лебедев В.И. Метод композиции. - М.: ОВМ АН СССР, 1986.
19. Михлин С.Г. Курс математической физики. - М.: Наука, 1968.
20. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985.
21. Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М.: Наука, 1984.
22. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд-во МГУ, 1976.

5. Сопряжённые уравнения и методы оптимального управления

1. Сведения из функционального анализа.
Линейные и банаховы пространства. Сопряжённые пространства и сопряжённые операторы. Основные понятия и типы разрешимости операторных уравнений в банаховых пространствах. Теория Рисса-Шаудера для уравнений 2 рода. Основы теории уравнений 1 рода. Нелинейные операторы. Производные Гато и Фреше. Формула Тейлора. Производная и градиент функционала. Теоремы о неявной функции.
2. Элементы выпуклого анализа.
Основные определения. Выпуклые множества и функции. Связь между выпуклостью функционала и монотонностью градиента. Полунепрерывные и слабо полунепрерывные  снизу функционалы. Теоремы существования и единственности минимума. Экстремальные точки функционалов и обобщённая теорема Вейерштрасса. Принцип критической точки. Теоремы существования критических точек. Основные понятия задач оптимального управления. Уравнения Эйлера. Примеры задач оптимального управления с распределёнными параметрами.
3. Сведения из теории дифференциальных уравнений и краевых задач.
Основные задачи математической физики. Свойства решений дифференциальных уравнений. Некорректно-поставленные задачи. Задача Коши для дифференциальных уравнений 2 порядка (эллиптических, параболических, гиперболических).
4. Методы исследования и решения экстремальных и обратных задач.
Методы регуляризации и штрафа в обратных и вариационных задачах. Алгоритмы возмущений. Формулировка обратных задач и задач управления как задач оптимального управления с регуляризацией. Типы разрешимости и разрешимость задач оптимального управления. Случайтривиального значения параметра регуляризации. Итерационные алгоритмы решения обратных задач и задач оптимального управления.
5. Методы теории сопряжённых уравнений и оптимального управления в исследовании и решении прикладных задач.
Эллиптическая задача о достижении заданного стационарного потока тепла на части границы области. Задача для уравнения теплопроводности о достижении предписанного конечного состояния. Задача для эволюционного уравнения 2 порядка о достижении заданного конечного состояния. Задача усвоения данных измерений для эволюционного уравнения. Задача для уравнения переноса о вычислении входящего излучения по измеренному выходящему потоку. Задача для уравнения переноса об определении функций источников по заданному интегральному потоку.
Задача для уравнения переноса о вычислении коэффициентов уравнения. Задача о выборе источников загрязнений с целью сохранения заданного уровня загрязнения среды в отдельных регионах. Задачи управления климатом (на примере простейших математических моделей).

Рекомендуемая литература
1. Треногин В.А, Функциональный анализ. М., Наука, 1993.
2. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., Наука, 1983.
3. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., Наука, 1979.
4. Марчук Г.И., Агошков В.И., Шутяев В.П. Сопряжённые уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики. М., Наука, 1993.
5. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределёнными системами. Теория и приложения. Новосибирск, Научная книга, 1999.

6. Вариационные и проекционные методы

Часть I. Некоторые алгоритмы проекционного метода
1. Введение. Общая схема алгоритмов.
2-3. Метод Ритца. Классический метод Ритца. Метод Ритца в энергетических пространствах. Естественные и главные краевые условия. Примеры.
4. Метод Бубнова-Галеркина. Случай оператора с самосопряженной главной частью. Общий случай алгоритма.
5. Метод наименьших квадратов. Теорема сходимости. Связь с методом Ритца.
6. Метод Галеркина-Петрова. Теорема сходимости.
7-8. Проблемы выбора базисных функций. Плотность. Удовлетворение краевым условиям. Минимизация ошибки аппроксимации. Устойчивость.
Часть II. Аппроксимация и финитные функции
9. Простейшие кусочно-постоянные функции
10. Кусочно-линейные базисные функции в одномерном случае. Построение "функций-домиков". Аппроксимация. Равномерная линейная независимость. Модифицированные "функции-домики".
11. Кусочно-линейная аппроксимация на прямоугольнике. Функция Куранта. Подпространства.
12. Билинейные базисные функции.
13. Построение базисов в случае области с криволинейной границей (метод аппроксимации области). Понятие об изопараметрических преобразованиях.
Часть III. Построение проекционно-сеточных схем для задач математической физики
14-15. Построение проекционно-сеточных схем для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Постановка задачи. Построение схемы. Сходимость. Метод оценки скорости сходимости. Примеры.
16. Проекционно-сеточный алгоритм для третьей краевой задачи.
17-18. Решение задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка. Задача Дирихле в прямоугольной области. Задача Дирихле в области с криволинейной границей. О подходах к решению задачи с неоднородными граничными условиями. Задача Дирихле для общего эллиптического уравнения.
19. Проекционно-сеточный метод с применением сингулярных функций.
20-21. Решение параболического уравнения. Постановка задачи. Построение схем. Сходимость. Оценки скорости сходимости. Численное решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
22-23. Решение гиперболического уравнения первого и второго порядков.
24-25. Некоторые вопросы численной реализации проекционно-сеточных алгоритмов. Численное интегрирование. Устойчивость. О числе обусловленности и решении систем уравнений. О константах в оценках погрешностей.
26-27. Понятие о методе интегральных тождеств. Проекционная форма интегральных тождеств для дифференциального уравнения второго порядка. Приближенное решение уравнения диффузии.

Рекомендуемая литература
1. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы.
2. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.
3. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных.
4. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения задач для эллиптических уравнений.
5. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных эллиптических уравнений.

7. Интегральные уравнения и их использование в математическом моделировании

 

8. Математические модели в иммунологии и медицине

1. Принципы организации и функционирования иммунной системы. Т и В системы иммунитета, принципы иммунного надзора и реагирования. Понятие антигена, клонально-селекционная теория Бернета, принцип двойного распознавания. Сетевая теория иммунного ответа. Оценка роли иммунной системы с точки зрения эволюции. Другие защитные системы организма.
2. Общие механизмы развития заболеваний. Взаимоотношения организма с вирусами и бактериями. Возможные механизмы повреждения тканей. Защитные реакции, их роль в развитии заболевания. Различные типы заболеваний и соответствующие методы терапии. Понятие иммунодефицита и иммуностимуляции.
3. Математические модели гуморального иммунного ответа. Математические модели процессов регуляции в иммунной системе.
4. Простейшая модель инфекционного заболевания. Принципы построения и обоснования уравнений модели. Аналитическое исследование простейшей модели заболевания. Положение равновесия. Условие устойчивости ``здорового состояния'' и ``хронического заболевания''.
5. Математическая модель противовирусного иммунного ответа. Принципы построения и обоснования вида уравнений. Количественная оценка величин параметров.
6. Методы численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие системы с запаздывающим аргументом.
7. Задачи идентификации параметров модели. Обобщенная картина болезни. Анализ и верификация множества идентифицированных параметров.
8. Механизмы специфической и неспецифической защиты. Их роль в поддержании здоровья. Математическая модель воспалительной реакции в легких.
9. Математическая модель защитной иммунофизиологической реакции в легких. Согласование воспалительной и иммунной реакций.
10. Энергетика процессов защиты организма от инфекций, принцип оптимума. Условие устойчивости хронической инфекции.
11. Математическая модель смешанных инфекций. Зависимость оптимального решения от факторов внешней среды. Адаптация и эволюционный процесс.

Рекомендуемая литература1. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М., Наука, 1976.
2. Иммунология: в 3-х томах / Под ред. У.Пола. М., Мир, 1987-1989.
3. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты. М., Наука, 1991.
4. Петров Р.В. Иммунология. М., Медицина, 1983.
5. Ройт А. Основы иммунологии. М., Мир, 1991.

9. Вычислительные технологии и математическое исследование биологических систем

1. Биологические системы: свойства и особенности: структурная сложность нелинейная динамика, модулярность, самоорганизация и т.д.
2. Математические модели в биологии (популяционная динамика, физиология, иммунология). Классы уравнений: ОДУ, ФДУ
* Модели Лотки-Вольтерра, Колмогорова, МакАртура, Базыкина
* Уравнение Хатчинсона
* Модели с возрастной структурой (Шарпе-Лотки-МакКендрика)
* Компартментные модели в физиологии* Модели иммунной системы
3. Имитационное моделирование: детерминистический и стохастический подходы
4. Вычислительные пакеты MATLAB, MATHEMATICA
5. Бифуркационный анализ. Структура и функции пакета DDE-BIFTOOL
6. Идентификация моделей - оценивание параметров, выбор функционалов согласия, анализ априорной идентифицируемости
7. Метод максимального правдоподобия; наименьшие квадраты
8. Численные алгоритмы усвоения данных
9. Исследование чувствительности и сопряженные уравнения
10. Информационные теории оценивания качества математических моделей
11. Генетические алгоритмы (ГА) эволюционного моделирования
12. Параллельная реализация ГА на супер-ЭВМ
13. Математическая теория иммунной системы
14. Построение программно-математических систем в иммунологии
15. Приложения вычислительных моделей в экспериментальной и клинической иммунологии
* Инфекция вирусами лимфоцитарного хориоменингита у мышей
* Вирусный гепатит
* Инфекция вирусами иммунодефицита человека
16. Оптимизация иммунотерапии: вычислительные методы и модели

Список литературы
1. Г.И. Марчук "Методы вычислительной математики". - М.: Наука, 1989, 608 стр.
2. Г.И. Марчук "Сопряженные уравнения и анализ сложных систем". - М.: Наука, 1992,  стр.
3. Г.И. Марчук "Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты". - М.: Наука, 1991, 304 стр.
3. Дж. Бейли, Д. Оллис "Основы биохимической инженерии" -М.: Мир, 1989, ч.1, ч.2.
4. В.К. Гришин, Ф.А. Живописцев, В.А. Иванов "Математическая обработка и интерпретация физмческого эксперимнта".  - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988, 318 стр.
5. Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш "Численные методы и прграммное обеспечение". - М.: Мир, 1998, 575 стр.
6. С. Кульбак "Теория информации и статистика". - М.: Наука, 1967, 404 стр.
7. В.И.Лебедев "Функциональный анализ и вычислительная математика" -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000, 296 с.
8. Дж. Марри "Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях". - М.: Мир, 1983, 400 стр.
9. С.А. Немнюгин, О.Л. Стесик "Параллеьное программирование для многопроцессорных вычислительных систем". - СПб: БХВ-Петербург, 2002, 400 стр.
10.  Г. Николис, И Пригожин. "Познание сложного. Введение". - М.: Мир, 1990, 344 стр.
11. Л.С. Понтрягин "Обыкновенные дифференциальные уравнения". -М.: Наука, 1982, 332 стр.
12. В.Г. Потёмкин "Система инженерных и научных расчетов MATLAB5.x": - В 2-х томах. М.: Диалог - МИФИ, 1999, 366 стр.
13. В.Г. Редько. "Эволюционная кибернетика". -М.: Наука, 2001, 156 стр.
14. Г.Ю. Ризниченко "Лекции по математическим моделям в биологии" Часть 1. - Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2002, 232 стр.
15. Дж. Хейл "Теория функционально-дифференциальных уравнений". -М.: Мир, 1984, 421 стр.
16. Д. Худсон "Статистика для физиков. Лекции по теории вероятностей и элементарной статистике". -М.: Мир, 1970, 296 стр.

10. Вычислительные методы геофизической гидродинамики

1. Методы решения краевых задач с малым параметром при старшей производной.
1.1. Разностная аппроксимация краевых задач. Пример определения порядка локальной аппроксимации краевой задачи Дирихле. Принцип максимума для трехточечной разностной задачи.
1.2. Уравнение эллиптического типа. Точное решение разностного уравнения. Пилообразное решение. Погрешность разностного решения. Пограничный слой.
1.3. Методы аппроксимации задачи с пограничным слоем.
 - Метод экспоненциальной подгонки.
 - Метод, основанный на асимптотическом разложении решения.
 - Метод Петрова-Галеркина.
1.4. Повышение порядка точности разностной схемы на основе экстраполяции Ричардсона.
2. Методы расщепления для решения эволюционных задач.
2.1. Неявная схема расщепления. Двухслойная схема расщепления с весами. (Представление функций от матриц в виде рядов.) Метод двуциклического расщепления.
2.2. Методы расщепления с приближенной факторизацией. Метод стабилизации. Общая схема метода приближенной факторизации.
2.3. Метод расщепления по физическим процессам. Иллюстрация на примере уравнения конвекции-диффузии с постоянными коэффициентами (точное решение).
2.4. Приложение метода расщепления к уравнениям математической физики. Уравнение теплопроводности: двуциклическое покомпонентное расщепление. Схема стабилизации для многомерного уравнения колебаний.
2.5. Метод расщепления в вариационных задачах. Задача о минимизации функционала. Декомпозиция вариационной задачи.
3. Численное решение вариационных задач.
3.1. Метод сопряженных уравнений. Оценка чувствительности функционала от решения при изменении правой части и при малых возмущениях оператора.
3.2. Постановка и решение некоторых экстремальных задач. Задача "усвоения данных наблюдений". Пример решения задачи о нахождении условного минимума функционала сведением к задаче на безусловный экстремум - классический метод.
3.3. Вариация функционала, градиент функционала. Классический метод минимизации функционала. Пример задачи на безусловный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Теорема о необходимом условии локального экстремума. Теорема о строгом локальном экстремуме.
3.4. Методы минимизации функций многих переменных. Градиентный метод. Критерий оптимальности для выпуклых функций.
3.5. Метод наискорейшего спуска. Пример для симметричной положительно-определенной матрицы. Практический выбор параметра шага. Теорема сходимости метода наискорейшего спуска. Метод условного градиента.
3.6. Принцип максимума Понтрягина. Теорема принципа максимума.
4. Численное решение задач гидродинамики.
4.1. Численное решение уравнения Россби (уравнения типа Соболева). Первое дифференциальное приближение разностных схем. Аппроксимация "дисперсионных свойств решения некоторыми численными схемами.
4.2. Численное решение уравнений Навье-Стокса. Схема с восстановлением дивергенции на основе проекционного метода. Метод частиц в ячейке. Метод расщепления. Метод искусственной сжимаемости.
4.3. Линейные уравнения мелкой воды. Схемы на сдвинутых сетках. Сетки: А,В,С,Е. Аппроксимация уравнений мелкой воды методом конечных элементов, эквивалентная МКР на сетке С.
4.4. Нелинейные уравнения мелкой воды. Эффект сжимаемости. Звуковой барьер (сверхзвуковой режим на сверхмелкой воде). Схема расщепления уравнений мелкой воды.
4.5. Монотонные и квазимонотонные схемы для решения уравнения переноса субстанции.

Литература
1. Г.И. Марчук. Методы вычислительной математики. М., Наука, 1980.
2. Г.И. Марчук, В.П. Дымников, В.Б. Залесный. Математические модели геофизической гидродинамики и численные методы их реализации. Л., Гидрометеоиздат, 1987.
3. Г.И. Марчук. Методы расщепления. М., Наука, 1988.
4. Ф.П. Васильев. Численные методы решения экстремальных задач. М., Наука, 1998.

11. Особые интегральные уравнения и некоторые их приложения

12. Математически модели в эпидемиологии

 

13. Вычислительно-информационные технологии моделирования климата

 1. Физические основы. Составляющие климатической системы, основные физические процессы, прямые и обратные связи. Климат как ансамбль состояний климатической системы. Внутренняя и вынужденная климатическая изменчивость, глобальные и региональные изменения климата. Антропогенные воздействия на климатическую систему.  Модель   как "лабораторный стенд" для исследования климата и его изменений. Ретроспективный обзор развития моделирования как инструментария  разработки схем гидродинамического прогноза погоды и решения задач теории климата. Принципы построения и верификации климатических моделей. Типичные базы данных, используемые  для верификации моделей. Международные программы сравнения моделей между собой и с данными наблюдений.

2. Математическое описание. Основные уравнения гидротермодинамики атмосферы и океана для описания эволюции состояния климатической системы. Проблема параметризации процессов подсеточных масштабов. Методы параметризации отдельных физических процессов: 1) конвекция, турбулентный перенос в пограничных слоях атмосферы и океана, двумерная турбулентность, волновое сопротивление; 2) радиационный перенос, облачность, осадки; 3) тепловлагоперенос в деятельном слое суши и криосферы, растительном и снежном покрове. Методы сопряжения моделей атмосферы и океана. Принципы построения конечномерных аппроксимаций для численной реализации климатических моделей. Численный эксперимент. Роль суперкомпьютеров и параллельных вычислений в планировании и проведении численных экспериментов с климатическими моделями.

3. Воспроизведение современного климата. Моделирование общей циркуляции атмосферы. Систематические ошибки в воспроизведении параметров состояния атмосферы. Основные результаты реализации программы сравнения атмосферных моделей (AMIP). Роль пространственного разрешения и степени детализации описания физических процессов подсеточных масштабов. Особенности моделирования регионального климата. Моделирование общей циркуляции океана. Моделирование  совместной циркуляции глобальной атмосферы и тропической части Тихого океана. Воспроизведение совместной циркуляции атмосферы и океана. Предварительные итоги реализации программы сравнения совместных моделей (CMIP).

4. Чувствительность климата. Основные понятия теории чувствительности климата к малым внешним возмущениям.  Линейный оператор отклика модели на малые внешние воздействия. Отклик атмосферы на аномалию температуры поверхности океана в тропиках. Локализованный и глобальный отклики атмосферной циркуляции на аномалию температуры поверхности океана в средних широтах. Отклик мезосферы и стратосферы на реально наблюдаемые изменения концентрации углекислого газа и озона в верхней атмосфере. Оценка возможных будущих изменений климата за счет систематического роста атмосферной концентрации углекислого газа (результаты численных экспериментов с совместными моделями в рамках программы CMIP).        

Rambler's Top100