Научная работа: темы и направления для студентов 3 курса МФТИ (2019 год)

Экспериментальная математика

Научный руководитель д.ф.-м.н. Богатырев А.Б., комната 616 (615), This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it. 

Вот несколько конкретных направлений для разработки оптимальных методов, в которых могут возникать студенческие проекты, прежде всего как "экспериментальная математика" и работа с программным кодом; есть много места и для глубокой теории.

1. Рациональная аппроксимация и оптимизация в равномерной метрике. Теоремы об альтернативах имеют прямое применение в задачах о наименьшем отклонении в Чебышевской метрике; геометрические аналогии помогают здесь и при построении алгоритмов, и при анализе сходимости. Конкретным приложением (ощутимо поддерживаемым компанией Хуавей) является расчет и настройка многополосных электрическихфильтров (аналоговых, цифровых и СВЧ).
2. Алгебро-геометрический подход к построению фильтров: Оказывается, что привлечение римановых поверхностей высоких родов позволяет решить задачу о наименьшем отклонении от идеальной функции пропускания в виде явных аналитических формул. Предлагается исследовать модификации получаемого алгоритма.
   
   Для эффективной реализации теории функций на Римановых поверхностях и пространствах их модулей используются несколько подходов: теория тэта функций Римана, родственных им сигма функций (Вейерштрасса и Кляйна), а также ряды Пуанкаре. Предлагается исследовать устойчивость рекуррентных соотношений, задающих ряды для сигма функций.
3. Ускорение сходимости тэта-рядов Пуанкаре: представления римановых поверхностей допускающих отражение в виде орбит группы Шоттки обладают важным практическим свойством: линейные ряды Пуанкаре для такой группы сходятся абсолютно. Для практических применений таких рядов, к которым относится, например, описание магнитных состояний планарных магнитов субмикронных размеров, бывает важно преобразовывать эти ряды с целью ускорения их сходимости; первые примеры таких преобразований уже реализованы.
4. Построение конформных сеток: Для плоских областей нарисованных по линиям миллиметровки, рассматриваемых как канал, по которому течет идеальная жидкость, требуется рассчитать поля скоростей и давления. Оказывается, что такая задача имеет аналитическое решение в терминах тэта-функций и решается с машинной точностью равномерно во всей области. Предлагается использовать такое решения для тестирования других численных методов, использующих сеточные аппроксимации.
   
   Приближения Каратеодори-Фейера: это конструкция, позволяющая приближенно решать задачи о наименьшем отклонении с весом сведением к задаче на собственные значения специальной м
   атрицы с ганкелевой структурой. Предлагается исследовать обоснование классического метода КФ и его обобщения для неодносвязных областей.
   
   Конструкция Пенроуза: так называемое твисторное соответствие лежит в основе представления компонент электрического и магнитного полей в виде контурных интегралов от произвольн
   ых функций на пространстве твисторов с заданными степенями однородности. Предлагается получать явные представления решений уравнений Максвелла в простых областях (потребуется
   знакомство с теорией Пенроуза).
   
   Вложенные рассечения: Оптимальное упорядочение неизвестных при гауссовом исключении есть NP-полная задача. В частных случаях (например, задача Дирихле в двумерном случае) суще
   ствует некоторая иерархическая конструкция, известная как метод вложенных рассечений, которая такое упорядочение позволяет найти. Предлагается исследовать некоторые обобщения
   (потребуется знакомство с теорией графов и дискретной дифференциальной геометрией).
   
   Оптимизация параметров многосеточных методов: Некоторые прямые методы решения линейных систем допускают интерпретацию в виде метода из семейства многосеточных (изобретенных Р.
   П. Федоренко). Использование этой связи оказывается весьма продуктивным для обеих сторон. В качестве приложений можно рассматривать задачи квазимагнитостатики.