Научная работа: темы и направления для студентов 3 курса МФТИ (2020 год)

Вычислительная линейная алгебра

Научный руководитель Академик РАН, проф., д.ф.-м.н. Тыртышников Е.Е., комната 704, email: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.

1. Разреженные решения в задачах вычислительной линейной алгебры и математической физики.

Часто решение задачи ищется в виде разложения по заданному базису, и заметим, что заведомо существуют базисы, для которых вектор коэффициентов разложения оказывается разреженным. За последние 10-15 лет очень интенсивно развивалось новое научное направление, связанное с поиском разреженных или приближенно разреженных решений, в том числе в задачах линейной алгебры. Здесь сложность заключается прежде всего в том, что неизвестно, какие именно коэффициенты будут ненулевыми. Как выбрать базис, гарантирующий разреженность? Конечно, идеальная ситуация – когда базис содержит искомое решение. Но решение – это как раз то, что мы ищем! Цель исследования – понять, как можно находить разрежающие базисы в задачах математической физики, прежде всего для интегральных уравнений теории потенциала. Есть надежда, что в результате получатся совершенно новые эффективные методы решения многих практически важных задач.

2. Редукция моделей и обучающих выборок в задачах машинного обучения.
Мы постоянно имеем дело с отображениями, действие которых известно только на некоторой части точек их области определения. При этом есть желание понять, как они действуют в других точках. Обычно выбирается некоторая модель отображения с набором параметров, которые определяются с помощью методов машинного обучения. Одна из главных реальных проблем заключается в том, что для обучения необходимо использовать слишком много точек. Есть две идеи о том, как сократить число точек обучения. Во-первых, можно из всего множества точек обучения выбирать наиболее значимые. Во-вторых, можно попытаться редуцировать саму модель, сократив число ее параметров и, как следствие, число обучающих точек. Цель исследования – посмотреть, как эти идеи работают в задачах прогнозирования значений временных рядов по начальному отрезку времени, изучить современные статистические модели и возможности применения тензорных разложений для их эффективной реализации.

3. Как решать операторные уравнения в случае операторов с коэрцитивно расщепляемой главной частью.

Теория сходимости проекционных методов (методов Галеркина) для решения линейного операторного уравнения обычно предполагает выполнение двух условий: (а) аппроксимации для проекторов и (б) коэрцитивности для исходного оператора. Замечательно, что компактное возмущение оператора сохраняет сходимость. Однако есть задачи (например, знаменитое уравнение электрического поля в электродинамике), в которых оператор не является коэрцитивным, но с точностью до компактного возмущения допускает расщепление в прямую сумму коэрцитивных. Выбор составного базиса, объединяющего базисы соответствующих подпространств, дает теоретическое решение вопроса о гарантированно сходящемся методе. Но на практике такой выбор может вести к большим вычислительным трудностям (например, в случае уравнения электрического поля). Цель исследования – в случае несоставного базиса понять, какие его свойства обеспечивают сходимость проекционного метода, и, возможно, разобраться с до сих пор открытым вопросом от том, есть ли такие свойства у базиса Рао-Вилтона-Глиссона, который несколько десятилетий успешно применяется при численном решении уравнения электрического поля.

4. Применение тензорных разложений при решении кинетических уравнений.

Традиционно при решении уравнений Больцмана и уравнений Смолуховского используются стохастические методы, так как классические сеточные методы представляются катастрофически затратными. Совсем недавно для уравнений Больцмана и схожих популяционных уравнений удалось получить эффективные квазисеточные методы, в основе которых лежат традиционные сеточные методы и специальные тензорные представления решения и ядра. Цель исследования – посмотреть, как эти конструкции могут использоваться при решении уравнений Больцмана.

5. Принцип максимального объема в задачах оптимизации.

Принцип максимального объема в задачах малоранговой аппроксимации матриц дает замечательный рецепт для выбора малого числа строк и столбцов – креста, по которому матрица восстанавливается с гарантированной точностью: достаточно выбирать крест, в котором цетральная подматрица будет иметь максимальный объем среди всех подматриц такого же размера. Принцип появился в ИВМ РАН и недавно получил новое развитие в связи с различными обобщениями понятия объема матрицы. К простейшему методу оптимизации функционала от многих переменных относится, конечно, метод последовательной координатной оптимизации. При этом координаты можно объединять в блоки и последовательно оптимизировать по блокам. Цель исследования – построить метод выбора блока, основанный на принципе максимального объема, и, возможно, получить новые эффективные методы оптимизации.