Научная работа: темы и направления для студентов 3 курса МФТИ (2018 год)
Оптимальные методы в задачах вычислительной математики
Most amateur algorithm writers, like most amateur scientists, seem to think that an algorithm is ready for publication at the point where a professional should realize that the hard and tedious work is just beginning.
– G.E. Forsythe, Comm. ACM, 9(4): 255–256, 1966.
В математическом моделировании многие возникающие проблемы допускают решение на уровне студенческой грамотности. Столкнувшись, например, с необходимостью посчитать рассеяние на угле, можно вспомнить о методе отражений и свести дело к (медленно сходящимся) рядам. Однако профессионал, знающий о представлении решений уравнений Максвелла в более экономном виде, не удовлетворится ответом в виде рядов: и потому, что может лучше, и потому, что астрономически большой объем вычислений в приложениях неприемлем.
Вот несколько конкретных направлений для разработки оптимальных методов, в которых могут возникать студенческие проекты, прежде всего как "экспериментальная математика" и работа с программным кодом; есть много места и для теории.
- конструкция Пенроуза: так называемое твисторное соответствие лежит в основе представления компонент электрического и магнитного полей в виде контурных интегралов от произвольных функций на пространстве твисторов с заданными степенями однородности. Предлагается получать явные представления решений уравнений Максвелла в простых областях (потребуется знакомство с теорией Пенроуза).
- вложенные рассечения: Оптимальное упорядочение неизвестных при гауссовом исключении есть NP-полная задача. В частных случаях (например, задача Дирихле в двумерном случае) существует некоторая иерархическая конструкция, известная как метод вложенных рассечений, которая такое упорядочение позволяет найти. Предлагается исследовать некоторые обобщения (потребуется знакомство с теорией графов и дискретной дифференциальной геометрией).
- оптимизация параметров многосеточных методов: Некоторые прямые методы решения линейных систем допускают интерпретацию в виде метода из семейства многосеточных (изобретенных Р. П. Федоренко). Использование этой связи оказывается весьма продуктивным для обеих сторон. В качестве приложений можно рассматривать задачи квазимагнитостатики.
- выпуклый анализ и оптимизация в равномерной метрике: Некоторые теоремы об альтернативах имеют прямое применение в задачах о наименьшем отклонении в Чебышевской метрике; геометрические аналогии помогают здесь и при построении алгоритмов, и при анализе сходимости. Конкретным приложением может быть расчет многополосных СВЧ-фильтров.
- алгебро-геометрический подход к построению фильтров: Оказывается, что привлечение римановых поверхностей высоких родов позволяет решить задачу о наименьшем отклонении от идеальной функции пропускания в виде явных аналитических формул. Предлагается исследовать устойчивость получаемого алгоритма.
- ускорение сходимости тэта-рядов: Некоторые представления римановых поверхностей в виде орбит группы Шоттки обладают важным практическим свойством: линейные ряды Пуанкаре для такой группы сходятся абсолютно. Для практических применений таких рядов, к которым относится, например, описание магнитных состояний планарных магнитов субмикронных размеров, бывает важно преобразовывать эти ряды с целью ускорения их сходимости; первые примеры таких преобразований уже реализованы.
- построение конформных сеток: Для плоских областей специального вида, рассматриваемых как канал, по которому течет идеальная жидкость, требуется рассчитать поля скоростей и давления. Оказывается, что такая задача имеет аналитическое решение в терминах тэта-функций и решается с машинной точностью равномерно во всей области. Предлагается использовать такое решения для тестирования других численных методов, использующих сеточные аппроксимации.
- приближения Каратеодори-Фейера: это конструкция, позволяющая приближенно решать задачи о наименьшем отклонении с весом сведением к задаче на собственные значения специальной матрицы с ганкелевой структурой. Предлагается исследовать обобщения этого метода для неодносвязных областей.
Материалы для более подробного знакомства с тематикой:
Адреса для связи: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it., This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it..
Научная работа: темы и направления в 2018 году